Задача 16. Закон радиоактивного распада ядер некоторого изотопа имеет вид: N = N0 · 2^-λt, где λ = 0.04 с⁻¹. Какой процент этих ядер распадется за 50 с?

Пошаговое решение:

1. Закон радиоактивного распада имеет вид: \( N(t) = N_0 \cdot 2^{-\cdot t} \), где \( N(t) \) — количество ядер в момент времени \( t \), \( N_0 \) — начальное количество ядер, \( \cdot \) — константа распада.
2. В данной задаче, закон дан в виде \( N = N_0 \cdot 2^{-\cdot t} \), но в условии сказано \( \cdot = 0.04 \) с⁻¹. Скорее всего, в формуле должно быть \( N = N_0 \cdot e^{-\cdot t} \) или \( N = N_0 \cdot 2^{-t/T} \), где \( T \) - период полураспада.
3. Если принять, что закон дан в виде \( N = N_0 \cdot 2^{-\cdot t} \) с \( \cdot = 0.04 \) с⁻¹, то это соответствует форме \( N = N_0 \cdot (2^{-\cdot})^t \). Возможно, \( 2^{-\cdot} \) является коэффициентом распада за единицу времени.
4. Однако, стандартная формула радиоактивного распада с периодом полураспада \( T_{1/2} \) выглядит как \( N(t) = N_0 \cdot (1/2)^{t/T_{1/2}} \) или \( N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}} \).
5. Если в формуле \( N = N_0 \cdot 2^{-\cdot t} \) использовать \( \cdot = 0.04 \) с⁻¹ как величину, обратную периоду полураспада (то есть \( \cdot = 1/T_{1/2} \)), то \( T_{1/2} = 1/0.04 = 25 \) с.
6. Тогда количество оставшихся ядер через 50 секунд будет: \( N(50) = N_0 \cdot 2^{-50/25} = N_0 \cdot 2^{-2} = N_0 \cdot (1/4) = 0.25 N_0 \).
7. Это означает, что осталось 25% от начального количества ядер.
8. Количество распавшихся ядер равно \( N_0 - N(50) = N_0 - 0.25 N_0 = 0.75 N_0 \).
9. Процент распавшихся ядер составляет 75%.
10. Альтернативное толкование: Если \( \cdot \) в формуле \( N = N_0 \cdot 2^{-\cdot t} \) является просто коэффициентом, а не величиной, связанной с периодом полураспада напрямую. В этом случае, возможно, \( \cdot = 0.04 \) с⁻¹. Тогда, \( N(50) = N_0 \cdot 2^{-(0.04 \cdot 50)} \).
11. Вычисляем показатель степени: \( 0.04 \cdot 50 = 2 \).
12. Тогда \( N(50) = N_0 \cdot 2^{-2} = N_0 \cdot (1/4) = 0.25 N_0 \).
13. Количество оставшихся ядер составляет 25%.
14. Количество распавшихся ядер = \( N_0 - 0.25 N_0 = 0.75 N_0 \).
15. Процент распавшихся ядер = 75%.

Ответ: 75 %.