Задача 18. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45°. Найдите объём пирамиды.

Обозначим через h высоту пирамиды, а через r — апофему правильного шестиугольника.

1. Апофема основания:
   \(r=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\).
2. В сечении, проходящем через высоту пирамиды и апофему основания, \(\tan 45^\circ=\frac{h}{r}\). Поэтому:
   \(h=r\tan45^\circ=2\sqrt{3}\).
3. Площадь основания правильного шестиугольника:
   \(S_{осн}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot16=24\sqrt{3}\).
4. Объём пирамиды:
   \[V=\frac13S_{осн}h=\frac13\cdot24\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}=48.\]

Ответ: 48.