Задача 1a: Докажите, что AO * OC = BO * OD, если AB || CD.

Доказательство:

Так как AB || CD, то углы \(\angle BAO\) и \(\angle DCO\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC. Аналогично, углы \(\angle ABO\) и \(\angle CDO\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BD.

Таким образом, треугольники \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\) подобны по двум углам (угол \(\angle AOB\) равен углу \(\angle COD\) как вертикальные).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

\(\frac{AO}{OD} = \frac{BO}{OC}\)

Перемножим крест-накрест:

\(AO \cdot OC = BO \cdot OD\)

Что и требовалось доказать.