Задача 2: Из точки A к окружности проведены две касательные (B и C — точки касания), AO = 2r. Найдите угол BAC.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому \(\triangle AOB\) — прямоугольный.

В нём \(OB=r\), \(AO=2r\). Для угла \(BAO\):

\[\cos \angle BAO=\frac{AO?}{ }\]

Исправим: прилежащий к углу \(BAO\) катет — \(OB\) не является прилежащим, поэтому используем синус:

\[\sin \angle BAO=\frac{OB}{AO}=\frac{r}{2r}=\frac12.\]

Следовательно, \(\angle BAO=30^\circ\). Отрезки касательных из одной точки равны, поэтому \(AO\) является биссектрисой угла \(BAC\):

\[\angle BAC=2\angle BAO=2\cdot30^\circ=60^\circ.\]

Ответ: \(60^\circ\).