Задача 2 (подсказка на старте). Углы AOB и BOC — смежные, ∠AOB = 50°. OM — биссектриса угла AOB, ON — биссектриса угла BOC. Найдите ∠MON. Как расположены лучи OM и ON? Как расположены лучи OM и ON при любом ∠AOB? Докажите, что так будет при любом ∠AOB. Потом: реши то же при ∠AOB = 70°. Что заметил? Докажи, что так будет при любом ∠AOB.

Обозначим ∠AOB через α. Так как углы AOB и BOC смежные, ∠BOC = 180° − α.

При ∠AOB = 50°:

∠BOC = 180° − 50° = 130°.

OM — биссектриса ∠AOB, поэтому ∠MOB = 50° : 2 = 25°. ON — биссектриса ∠BOC, поэтому ∠BON = 130° : 2 = 65°.

Следовательно, ∠MON = ∠MOB + ∠BON = 25° + 65° = 90°. Лучи OM и ON перпендикулярны.

В общем случае ∠MOB = α/2, а ∠BON = (180° − α)/2. Тогда ∠MON = α/2 + (180° − α)/2 = 90°. Значит, OM ⟂ ON при любом допустимом значении ∠AOB.

При ∠AOB = 70°: ∠BOC = 110°, ∠MOB = 35°, ∠BON = 55°, поэтому ∠MON = 35° + 55° = 90°. Результат не зависит от величины угла AOB: биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

Ответ: ∠MON = 90°; лучи OM и ON перпендикулярны.