Задача 3. Даны две группы натуральных чисел: в первой группе пять чисел, во второй — три числа. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно 8, а во второй — 11. Пусть M₁ — наибольшее число из первой группы, M₂ — наибольшее число из второй группы. Какое наибольшее значение может принимать сумма M₁ + M₂?

Сумма чисел первой группы равна \(5\cdot8=40\). Чтобы наибольшее число было как можно больше, остальные четыре натуральных числа берём минимальными, то есть равными 1. Тогда \(M_1=40-4=36\).

Сумма чисел второй группы равна \(3\cdot11=33\). Два остальных числа не меньше 1, поэтому \(M_2\le33-2=31\). Это значение достижимо при числах 1, 1 и 31.

Следовательно, наибольшая сумма равна \(36+31=67\). Обе границы достигаются, например, на группах (36, 1, 1, 1, 1) и (31, 1, 1).

Ответ: 67.