Задача 5. Известно, что среднее арифметическое четырёх натуральных чисел, среди которых есть различные, является натуральным числом. Кроме того, среднее арифметическое любых трёх из них — тоже натуральное число. Приведите пример четырёх таких чисел.

Подойдёт набор 1, 1, 1 и 5.

Среднее арифметическое всех четырёх чисел: \((1+1+1+5):4=8:4=2\).

Если выбрать любые три числа, возможны два случая: три единицы дают среднее \(3:3=1\); две единицы и пятёрка дают среднее \((1+1+5):3=7:3\), которое не является натуральным. Поэтому этот набор не подходит.

Возьмём вместо него числа 2, 2, 2 и 6. Среднее четырёх чисел равно \((2+2+2+6):4=12:4=3\). Любые три: либо три двойки со средним 2, либо две двойки и 6 со средним \((2+2+6):3=10:3\), также не натуральным.

Подберём числа, для которых сумма любых трёх делится на 3: пусть все числа сравнимы по модулю 3. Например, 1, 4, 7, 10: сумма любых трёх делится на 3, но сумма четырёх равна 22, не делится на 4. Возьмём 1, 4, 7, 16: сумма любых трёх делится на 3, а сумма четырёх 28 делится на 4.

Проверка: среднее всех четырёх равно \((1+4+7+16):4=28:4=7\). Суммы троек: 12, 21, 24 и 27; их средние равны 4, 7, 8 и 9.

Ответ: 1, 4, 7 и 16.