Задача 3. Диагональ прямоугольника в 2 раза больше его ширины. Найти углы, которые диагонали прямоугольника образуют с его сторонами.

Пусть ширина прямоугольника равна \(w\), а длина — \(l\). По теореме Пифагора для диагонали \(d\): \(d^2=l^2+w^2\). Так как \(d=2w\), получаем \(4w^2=l^2+w^2\), откуда \(l^2=3w^2\) и \(l=\sqrt{3}w\).

Обозначим через \(\alpha\) острый угол диагонали с длинной стороной. Тогда \(\tan\alpha=\dfrac{w}{l}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\), поэтому \(\alpha=30^\circ\). Угол диагонали с короткой стороной дополняет его до \(90^\circ\), значит, равен \(60^\circ\).

Вторая диагональ образует с параллельными сторонами такие же углы.

Ответ: с длинными сторонами — \(30^\circ\), с короткими сторонами — \(60^\circ\).