Задача 3. Катеты прямоугольного треугольника отличаются на 7 см, а площадь равна 60 см². Найдите катеты.

Пусть меньший катет равен \(x\) см, тогда больший равен \(x+7\) см. По формуле площади прямоугольного треугольника:

\[\frac{x(x+7)}{2}=60.\]

Умножим обе части на 2: \(x^2+7x=120\), то есть \(x^2+7x-120=0\).

Разложим на множители: \((x-8)(x+15)=0\). Получаем \(x=8\) или \(x=-15\). Отрицательная длина не подходит, значит меньший катет равен 8 см, а больший — \(8+7=15\) см.

Проверка: \(8\cdot15/2=60\text{ см}^2\).

Ответ: 8 см и 15 см.