Задача № 3 («на 5»). В равнобедренной трапеции высота равна средней линии. Доказать, [фрагмент закрыт пальцем] взаимно перпендикулярны.

Часть условия закрыта пальцем; по видимому окончанию нельзя достоверно определить, какие именно элементы названы взаимно перпендикулярными. Если требуется доказать перпендикулярность диагоналей, доказательство такое.

Пусть основания равнобедренной трапеции равны \(a\) и \(b\), а её высота равна \(h\). Расположим трапецию симметрично относительно вертикальной оси: нижние вершины будут \((-a/2,0)\), \((a/2,0)\), верхние — \((-b/2,h)\), \((b/2,h)\).

По условию высота равна средней линии, поэтому \(h=\frac{a+b}{2}\). Направляющие векторы диагоналей можно записать как \(\vec d_1=(\frac{a+b}{2},h)\) и \(\vec d_2=(-\frac{a+b}{2},h)\).

Их скалярное произведение равно \(\vec d_1\cdot\vec d_2=-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2+h^2=0\), поскольку \(h=\frac{a+b}{2}\). Значит, диагонали перпендикулярны.

Чтобы подтвердить, что именно это требовалось доказать, пришлите, пожалуйста, закрытый фрагмент строки.