Задача 3. На стороне угла отложены 4 равных отрезка. Через их концы проведены параллельные прямые до пересечения со второй стороной угла. Докажите, что отрезки на второй стороне угла также равны.

Обозначим вершину угла O, точки на первой стороне — A₁, A₂, A₃, A₄, а соответствующие точки пересечения параллельных прямых со второй стороной — B₁, B₂, B₃, B₄. Пусть OA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ = d.

Из параллельности проведённых прямых и подобия треугольников OАᵢBᵢ следует, что отношения OBᵢ/OAᵢ одинаковы. Обозначим это общее отношение через k. Тогда OB₁ = kd, OB₂ = 2kd, OB₃ = 3kd, OB₄ = 4kd.

Следовательно, B₁B₂ = OB₂ − OB₁ = kd; B₂B₃ = OB₃ − OB₂ = kd; B₃B₄ = OB₄ − OB₃ = kd.

Значит, отрезки B₁B₂, B₂B₃ и B₃B₄ равны. Что и требовалось доказать.