Задача 3: найдите максимальное значение функции f(x)=x^3−2x^2+3x-12 на отрезке [-10;10].

Решение:

Для нахождения максимального значения функции \( f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 12 \) на отрезке \( [-10; 10] \) необходимо:

1. Найти производную функции:
   \( f'(x) = 3x^2 - 4x + 3 \)
2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю:
   \( 3x^2 - 4x + 3 = 0 \)
   Вычислим дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 16 - 36 = -20 \).
   Так как \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) (равный 3) положительный, то производная \( f'(x) \) всегда положительна. Это означает, что функция \( f(x) \) является возрастающей на всей числовой оси, включая отрезок \( [-10; 10] \).
3. Определить значения функции на концах отрезка:
   Поскольку функция возрастает, максимальное значение будет достигаться на правом конце отрезка, а минимальное — на левом.
   - Значение на левом конце отрезка \( x = -10 \):
   \( f(-10) = (-10)^3 - 2(-10)^2 + 3(-10) - 12 \)
   \( f(-10) = -1000 - 2(100) - 30 - 12 \)
   \( f(-10) = -1000 - 200 - 30 - 12 = -1242 \)
   - Значение на правом конце отрезка \( x = 10 \):
   \( f(10) = (10)^3 - 2(10)^2 + 3(10) - 12 \)
   \( f(10) = 1000 - 2(100) + 30 - 12 \)
   \( f(10) = 1000 - 200 + 30 - 12 \)
   \( f(10) = 800 + 30 - 12 = 818 \)

Вывод:

Максимальное значение функции на отрезке \( [-10; 10] \) равно 818 и достигается при \( x = 10 \).

Ответ: 818.