Задача 4: Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные, равные 10см и 18 см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 16см. Найти проекцию каждой наклонной.

Пусть длины наклонных \( l_1 = 10 \) см и \( l_2 = 18 \) см. Пусть длины их проекций \( x_1 \) и \( x_2 \), соответственно. По условию, \( x_1 + x_2 = 16 \) см. Пусть высота (перпендикуляр) из данной точки до плоскости равна \( h \). Тогда: \( l_1^2 = h^2 + x_1^2 \) и \( l_2^2 = h^2 + x_2^2 \). Значит, \( h^2 = l_1^2 - x_1^2 = l_2^2 - x_2^2 \). Тогда \( 10^2 - x_1^2 = 18^2 - x_2^2 \). \( 100 - x_1^2 = 324 - x_2^2 \). \( x_2^2 - x_1^2 = 324 - 100 = 224 \). \( (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) = 224 \). Так как \( x_1 + x_2 = 16 \), то \( (x_2 - x_1) \cdot 16 = 224 \). \( x_2 - x_1 = \frac{224}{16} = 14 \). Решаем систему уравнений: \( x_1 + x_2 = 16 \) \( x_2 - x_1 = 14 \) Складываем уравнения: \( 2x_2 = 30 \), следовательно, \( x_2 = 15 \) см. Тогда \( x_1 = 16 - x_2 = 16 - 15 = 1 \) см. Ответ: Длины проекций равны 1 см и 15 см.