Задача 4: Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные, равные 10см и 18 см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 16см. Найти проекцию каждой наклонной.

Пусть длины наклонных \( l_1 = 10 \) см и \( l_2 = 18 \) см. Пусть длины их проекций \( x_1 \) и \( x_2 \), соответственно. По условию, \( x_1 + x_2 = 16 \) см.

Пусть высота (перпендикуляр) из данной точки до плоскости равна \( h \). Тогда:

\( l_1^2 = h^2 + x_1^2 \) и \( l_2^2 = h^2 + x_2^2 \).

Значит, \( h^2 = l_1^2 - x_1^2 = l_2^2 - x_2^2 \).

Тогда \( 10^2 - x_1^2 = 18^2 - x_2^2 \).

\( 100 - x_1^2 = 324 - x_2^2 \).

\( x_2^2 - x_1^2 = 324 - 100 = 224 \).

\( (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) = 224 \).

Так как \( x_1 + x_2 = 16 \), то \( (x_2 - x_1) \cdot 16 = 224 \).

\( x_2 - x_1 = \frac{224}{16} = 14 \).

Решаем систему уравнений:

\( x_1 + x_2 = 16 \)
\( x_2 - x_1 = 14 \)

Складываем уравнения: \( 2x_2 = 30 \), следовательно, \( x_2 = 15 \) см.

Тогда \( x_1 = 16 - x_2 = 16 - 15 = 1 \) см.

Ответ: Длины проекций равны 1 см и 15 см.