Задача 4. При каких значениях параметра a число \(\frac{1}{3}\) является решением уравнения \(3ax+5=\frac{a(7a-11)}{2}-\frac{1}{6}a\)?

Подставим \(x=\frac{1}{3}\):

\[3a\cdot\frac{1}{3}+5=\frac{a(7a-11)}{2}-\frac{a}{6}.\]

Получаем:

\[a+5=\frac{7a^2-11a}{2}-\frac{a}{6}.\]

Умножим уравнение на 6:

\[6a+30=3(7a^2-11a)-a,\]

\[6a+30=21a^2-34a,\]

\[21a^2-40a-30=0.\]

Найдём дискриминант:

\[D=(-40)^2-4\cdot21\cdot(-30)=4120=4\cdot1030.\]

Следовательно,

\[a=\frac{40\pm2\sqrt{1030}}{42}=\frac{20\pm\sqrt{1030}}{21}.\]

Ответ: \(a=\frac{20+\sqrt{1030}}{21}\) или \(a=\frac{20-\\sqrt{1030}}{21}\).