Задача 4. Прямая BD перпендикулярна к плоскости треугольника ABC. Известно, что BD=9 см, AC=10 см, BC=BA=13 см. Найти расстояние от точки D до прямой AC и площадь треугольника ACD.

Обозначим через E основание перпендикуляра из B на AC. Так как AB=BC, треугольник ABC равнобедренный, поэтому высота BE является также медианой: AE=EC=AC/2=5 см.

В прямоугольном треугольнике ABE по теореме Пифагора:

BE=√(AB²−AE²)=√(13²−5²)=√144=12 см.

Поскольку BD перпендикулярна плоскости ABC, BD перпендикулярна BE. Кроме того, BE перпендикулярна AC. Следовательно, DE перпендикулярна AC, и расстояние от D до AC равно DE.

В прямоугольном треугольнике DBE:

DE=√(BD²+BE²)=√(9²+12²)=√225=15 см.

Площадь треугольника ACD найдём как половину произведения основания AC на высоту DE:

S_ACD=½·AC·DE=½·10·15=75 см².

Ответ: расстояние от D до AC — 15 см; площадь треугольника ACD — 75 см².