Задача 4. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана BD. Периметр треугольника ABC равен 32 см, а периметр треугольника ABD равен 24 см. Найдите длину медианы BD, если основание AC равно 12 см.

Дано: \(AC=12\) см, \(P_{ABC}=32\) см, \(P_{ABD}=24\) см. Треугольник \(ABC\) равнобедренный, \(AB=BC\). Точка \(D\) — середина \(AC\).

Найдём боковые стороны треугольника \(ABC\):

\(AB+BC+AC=32\),

\(2AB+12=32\),

\(2AB=20\),

\(AB=BC=10\) см.

Так как \(D\) — середина основания, то:

\(AD=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6\) см.

Рассмотрим периметр треугольника \(ABD\):

\(AB+AD+BD=24\).

\(10+6+BD=24\),

\(BD=8\) см.

Ответ: \(8\) см.