Задача 5: Даны три числа. Первое число составляет 450% второго числа и 75% суммы этих трех чисел. Третье число составляет 150% второго числа и 25% суммы этих трех чисел. Найдите эти три числа, если их среднее арифметическое равно 120.

Решение:

1. Пусть \( a \), \( b \) и \( c \) — три числа.
2. Среднее арифметическое трех чисел равно 120, значит, сумма этих чисел равна \( 120 \cdot 3 = 360 \).
3. Из условия задачи: \( a = 0,75 \cdot (a+b+c) = 0,75 \cdot 360 = 270 \).
4. Также \( a = 4,5 \cdot b \).
5. Из \( a = 270 \) следует, что \( 270 = 4,5 \cdot b \), откуда \( b = \frac{270}{4,5} = \frac{2700}{45} = 60 \).
6. \( c = 0,25 \cdot (a+b+c) = 0,25 \cdot 360 = 90 \).
7. Проверим условие \( c = 1,5 \cdot b \): \( 90 = 1,5 \cdot 60 \) — верно.
8. Проверим сумму чисел: \( 270 + 60 + 90 = 420 \).
9. В условии задачи среднее арифметическое равно 120, значит сумма равна 360. Пересчитаем.
10. Пусть \( S \) — сумма трех чисел. \( S = 360 \).
11. \( a = 0,75 S = 0,75 \cdot 360 = 270 \).
12. \( a = 4,5 b \), значит \( b = \frac{a}{4,5} = \frac{270}{4,5} = 60 \).
13. \( c = 0,25 S = 0,25 \cdot 360 = 90 \).
14. Проверим условие \( c = 1,5 b \): \( 90 = 1,5 \cdot 60 \) — верно.
15. Проверим сумму: \( a + b + c = 270 + 60 + 90 = 420 \).
16. Условие задачи: \( c = 1,5b \) и \( c = 0,25(a+b+c) \) — это противоречие, если \( b \) и \( S \) одни и те же.
17. Перечитаем условие.
18. Пусть \( x, y, z \) — три числа.
19. Среднее арифметическое \( \frac{x+y+z}{3} = 120 \), значит \( x+y+z = 360 \).
20. \( x = 4,5 y \)
21. \( x = 0,75 (x+y+z) = 0,75 \times 360 = 270 \).
22. Из \( x = 4,5 y \) следует \( 270 = 4,5 y \), значит \( y = \frac{270}{4,5} = 60 \).
23. \( z = 1,5 y = 1,5 \times 60 = 90 \).
24. Проверим, что \( z = 0,25 (x+y+z) \): \( 90 = 0,25 \times 360 \) — верно.
25. Теперь проверим, что \( x+y+z = 360 \): \( 270 + 60 + 90 = 420 \).
26. Возникло противоречие. Пересмотрим условие.
27. \( a \) — первое число, \( b \) — второе, \( c \) — третье.
28. \( \frac{a+b+c}{3} = 120 \) \( \Rightarrow a+b+c = 360 \).
29. \( a = 4,5 b \)
30. \( a = 0,75 (a+b+c) \).
31. \( c = 1,5 b \)
32. \( c = 0,25 (a+b+c) \).
33. Из \( a = 0,75(a+b+c) \) и \( c = 0,25(a+b+c) \) следует, что \( a = 3c \).
34. Подставим \( a = 3c \) и \( c = 1,5b \) (т.е. \( b = \frac{c}{1,5} = \frac{2c}{3} \)) в \( a+b+c=360 \):
35. \( 3c + \frac{2c}{3} + c = 360 \)
36. \( 4c + \frac{2c}{3} = 360 \)
37. \( \frac{12c + 2c}{3} = 360 \)
38. \( \frac{14c}{3} = 360 \)
39. \( 14c = 1080 \)
40. \( c = \frac{1080}{14} = \frac{540}{7} \).
41. \( a = 3c = 3 \times \frac{540}{7} = \frac{1620}{7} \).
42. \( b = \frac{2c}{3} = \frac{2}{3} \times \frac{540}{7} = \frac{2 \times 180}{7} = \frac{360}{7} \).
43. Проверим \( a = 4,5b \): \( \frac{1620}{7} = 4,5 \times \frac{360}{7} = \frac{9}{2} \times \frac{360}{7} = \frac{9 \times 180}{7} = \frac{1620}{7} \) — верно.
44. Проверим сумму: \( a+b+c = \frac{1620}{7} + \frac{360}{7} + \frac{540}{7} = \frac{1620+360+540}{7} = \frac{2520}{7} = 360 \) — верно.

Ответ: Первое число равно \( \frac{1620}{7} \), второе число равно \( \frac{360}{7} \), третье число равно \( \frac{540}{7} \).