Задача 5: Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.

Доказательство:

Дано:

Параллелограмм ABCD, в который можно вписать окружность.

Доказать:

Параллелограмм ABCD — ромб.

Доказательство:

1. По условию, в параллелограмм ABCD можно вписать окружность.
2. Известно свойство четырёхугольника, в который можно вписать окружность: сумма длин противоположных сторон равна.
3. Для четырёхугольника ABCD это означает, что:

AB + CD = BC + AD

3. Так как ABCD — параллелограмм, то его противоположные стороны равны:

AB = CD

BC = AD

4. Подставим равенства сторон параллелограмма в условие вписанной окружности:

AB + AB = BC + BC

2 * AB = 2 * BC

AB = BC

5. Мы получили, что смежные стороны параллелограмма ABCD равны (AB = BC). Следовательно, все стороны параллелограмма равны:

AB = BC = CD = DA

6. Параллелограмм, у которого все стороны равны, по определению является ромбом.

Что и требовалось доказать.