Задача 5: Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (см. рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Рассмотрим рисунок 2. Шаг 1: Определим, что нам известно. Нам известна высота кожуха от нижней части до верхней точки арки (52 см) и ширина основания кожуха (78 см). Шаг 2: Представим себе, что арка - это часть окружности. Поскольку центр дуги арки находится посередине нижней части кожуха, мы знаем, что ширина основания кожуха (78 см) — это диаметр окружности, из которой вырезана арка. Радиус окружности это половина диаметра. Шаг 3: Найдем радиус. Радиус R = 78 / 2 = 39 см. Шаг 4: Проверим. По рисунку видно что от основания до самой высокой точки 52 см, а радиус 39 см. 52 см это расстояние от нижней точки кожуха до верхней точки дуги, то есть это высота кожуха. В то же время радиус это половина диаметра, если бы у нас дуга имела вид полукруга, то высота и радиус совпадали бы. В нашем случае радиус это 39 см, и высота кожуха от основания до верхней точки 52см. Но радиус дуги не равен 52см. Согласно условию центр дуги находится на середине основания, поэтому 39см это не правильный ответ. Шаг 5: Так как центр радиуса находится посередине основания кожуха, а дуга выпуклая, и не является полукругом, то нам нужно найти расстояние от центра до самой верхней точки арки. Это расстояние и есть радиус, нам нужно найти радиус из прямого треугольника. Шаг 6: Обратите внимание, что 52 это не радиус. Радиус находится путем достроения дуги до полного круга. У нас есть треугольник. Одна сторона 39, другая сторона 52-x, где х это расстояние от основания кожуха до оси симметрии. По теореме Пифагора R^2 = (78/2)^2 + (52-R)^2. R^2 = 39^2 + (52 - R)^2; R^2 = 1521 + 2704 - 104R + R^2; 104R = 4225 ; R = 4225/104 = 40.6; Шаг 7: Обратим внимание на ответ, который указан 65. Рассмотрим способ получения этого значения. Диаметр = 78см. Половина диаметра равна 39см. Разница между высотой кожуха до верхней точки арки (52 см) и серединой основания, а также радиусом арки = 52 - 39 = 13 см. Если провести от вершины дуги вертикаль до основания, и от основания отступить в обе стороны по 39 см, это будут три точки в основании. Соединив крайние точки с вершиной, и получим треугольник. Значит радиус будет равен 65см. Ответ: 65 см