Задача 5. Лестница, стоявшая на гладком полу у стены, соскальзывает вниз (все время касаясь стены). По какой линии движется котенок, сидящий на середине лестницы?

Решение:

Рассмотрим лестницу как отрезок AB, где точка A лежит на стене (вертикальная ось), а точка B — на полу (горизонтальная ось). Пусть длина лестницы равна \( 2l \). Котенок находится на середине лестницы, обозначим его точку M. Координаты точки A: \( (0, y) \), координаты точки B: \( (x, 0) \). Тогда \( OA = y \) и \( OB = x \). По теореме Пифагора: \( x^2 + y^2 = (2l)^2 \).

Координаты середины лестницы M: \( (x/2, y/2) \). Обозначим координаты M как \( (X, Y) \). Тогда \( X = x/2 \) и \( Y = y/2 \). Отсюда \( x = 2X \) и \( y = 2Y \).

Подставим в уравнение Пифагора: \( (2X)^2 + (2Y)^2 = (2l)^2 \) \( 4X^2 + 4Y^2 = 4l^2 \) \( X^2 + Y^2 = l^2 \).

Это уравнение окружности с центром в точке O (начало координат) и радиусом \( l \), равным половине длины лестницы. Однако, поскольку лестница касается стены и пола, \( x \ge 0 \) и \( y \ge 0 \), что означает \( X \ge 0 \) и \( Y \ge 0 \). Следовательно, котенок движется по дуге окружности, расположенной в первом квадранте.

Ответ: По дуге окружности.