Задача 5. При каждом выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,8. Найти вероятность того, что при пяти выстрелах будет сделано три промаха. Ответ: 0,0512.

Привет! Давай посчитаем вероятность промахов.

Дано:

• Количество выстрелов: n = 5
• Вероятность поражения цели (успеха) в одном выстреле: p = 0,8

Найти: Вероятность того, что будет сделано три промаха.

Решение:

1. Определим вероятность промаха.

   Если вероятность поражения цели 0,8, то вероятность промаха (q) будет:

   \[ q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2 \]

2. Применим формулу Бернулли.

   Формула Бернулли используется для расчета вероятности того, что в серии из n независимых испытаний произойдет ровно k успехов. В нашем случае, «успехом» будет считаться промах.

   Формула выглядит так:

   \[ P_k = C_n^k \times q^k \times p^{n-k} \]

   Где:

   • \[ P_k \] - вероятность ровно k успехов.
   • \[ C_n^k \] - число сочетаний из n по k, рассчитывается как \[ \frac{n!}{k!(n-k)!} \].
   • q - вероятность неудачи (промаха).
   • p - вероятность успеха (попадания).
   • n - общее число испытаний (выстрелов).
   • k - число желаемых неудач (промахов).

   В нашей задаче:

   • \[ n = 5 \] (всего выстрелов)
   • \[ k = 3 \] (желаемое количество промахов)
   • \[ q = 0,2 \] (вероятность промаха)
   • \[ p = 0,8 \] (вероятность попадания)

   Теперь рассчитаем число сочетаний ep{C_5^3}:

   \[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]

   Теперь подставим все значения в формулу Бернулли:

   \[ P_3 = 10 \times (0,2)^3 \times (0,8)^{5-3} \]

   \[ P_3 = 10 \times (0,2)^3 \times (0,8)^2 \]

   \[ P_3 = 10 \times 0,008 \times 0,64 \]

   \[ P_3 = 0,08 \times 0,64 \]

   \[ P_3 = 0,0512 \]

Ответ: 0,0512