Задача 5. В группе учится 20 студентов, из них 16 человек сдали зачёт по философии и 11 сдали зачёт по русскому языку. Укажите номера всех истинных утверждений. 1) Хотя бы 7 студентов из этой группы сдали зачёты и по философии, и по русскому языку. 2) Если студент этой группы сдал зачёт по философии, то он сдал и зачёт по русскому языку. 3) В этой группе найдётся 5 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов. 4) Менее 12 студентов из этой группы сдали зачёты и по философии, и по русскому языку.

Обозначим через x число студентов, сдавших оба зачёта. По принципу включения-исключения число сдавших хотя бы один зачёт равно \(16+11-x\), а оно не может превышать 20. Поэтому \(x\geq 7\). Также \(x\leq 11\), так как русский язык сдали 11 студентов.

1. Истинно: оба зачёта сдали как минимум 7 студентов.
2. Ложно: философию сдали 16 человек, а русский язык — только 11, поэтому все сдавшие философию не могли сдать и русский язык.
3. Ложно: число не сдавших ни одного зачёта равно \(20-(16+11-x)=x-7\). Так как \(x\leq11\), таких студентов может быть не более 4.
4. Истинно: оба зачёта сдали не более 11 студентов, а значит, меньше 12.

Ответ: истинные утверждения — 1 и 4.