Задача 6. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O. Известно, что AO = OB, CO = OD. Докажите, что AB ∥ CD. План доказательства: 1) найди равные треугольники; 2) покажи равенство нужных углов; 3) сделай вывод о параллельности через признак.

1. Рассмотрим треугольники AOC и BOD. По условию \(AO = OB\) и \(CO = OD\). Углы \(AOC\) и \(BOD\) равны как вертикальные.
2. Следовательно, \(\triangle AOC = \triangle BOD\) по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует \(\angle OAC = \angle OBD\).
3. Эти углы — накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей AC? Такая идентификация неверна: точки A, O, B лежат на одной прямой, а C, O, D — на другой. Из равенства треугольников можно получить равенство углов между AB и AC и между AB и BD, но это не устанавливает параллельность AB и CD. Более непосредственно, условия означают, что O — середина и AB, и CD; они задают пересекающиеся прямые AB и CD, поэтому параллельность из них не следует.

Контрпример: A = (−1, 0), B = (1, 0), C = (0, −1), D = (0, 1), O = (0, 0). Тогда AO = OB и CO = OD, но AB и CD перпендикулярны, а не параллельны.

Ответ: утверждение неверно; при данных условиях доказать AB ∥ CD нельзя.