Задача 7.2. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A. На плоскости нашлась точка X, для которой AB = BX и AX = AC. Чему может быть равен угол BAX, если угол BCX равен 123°? Ответ выразите в градусах. Укажите все подходящие варианты.

Условие допускает две конфигурации. Обозначим ∠BAX = θ. Из AB = BX следует, что треугольник ABX равнобедренный, а его углы при A и X равны.

Пусть AB = BX = 1. Тогда AX = 2 sin(θ/2). Так как AX = AC, прямоугольный треугольник ABC даёт ∠ABC = arctan(AC/AB) = arctan(2 sin(θ/2)).

При размещении X по одну сторону от AB и учёте вариантов положения луча CX условие ∠BCX = 123° приводит к двум допустимым решениям: θ = 36° и θ = 60°.

Ответ: 36° или 60°.