Задача 7 #2638. При всех значениях параметра а решите уравнение (a² – 9) x = 5(a + 3).

Решение:

Дано уравнение \( (a^2 - 9)x = 5(a + 3) \).

Разложим \( a^2 - 9 \) как разность квадратов:

\[ (a - 3)(a + 3)x = 5(a + 3) \]

Рассмотрим два случая:

1. Если \( a = -3 \):
   \[ (-3 - 3)(-3 + 3)x = 5(-3 + 3) \]
   \[ (-6)(0)x = 5(0) \]
   \[ 0x = 0 \]

   Это равенство верно при любом значении \( x \). Следовательно, при \( a = -3 \) уравнение имеет бесконечное множество решений.

2. Если \( a \neq -3 \):

   Можно разделить обе части уравнения на \( (a + 3) \), так как \( a + 3 \neq 0 \).

   \[ (a - 3)(a + 3)x = 5(a + 3) \]
   \[ (a - 3)x = 5 \]

   Теперь рассмотрим два подслучая:

   • Если \( a - 3 \neq 0 \) (то есть \( a \neq 3 \)), то можно разделить на \( (a - 3) \):
     \[ x = \frac{5}{a - 3} \]
   • Если \( a - 3 = 0 \) (то есть \( a = 3 \)):
     \[ (3 - 3)x = 5 \]
     \[ 0x = 5 \]

     Это равенство неверно, следовательно, при \( a = 3 \) уравнение не имеет решений.

Ответ:
1. Если \( a = -3 \), то \( x \) — любое действительное число.
2. Если \( a = 3 \), то решений нет.
3. Если \( a \neq -3 \) и \( a \neq 3 \), то \( x = \frac{5}{a - 3} \).