Задача 7. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. AD = 5 см, DD₁ = 5 см. Докажите, что прямые AD₁ и A₁C перпендикулярны.

Обозначим AB = x. Введём координаты: A(0; 0; 0), B(x; 0; 0), D(0; 5; 0), A₁(0; 0; 5). Тогда C(x; 5; 0), D₁(0; 5; 5), поскольку рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, попарно перпендикулярны.

Направляющий вектор прямой AD₁: \(\overrightarrow{AD_1}=(0;5;5)\).

Направляющий вектор прямой A₁C: \(\overrightarrow{A_1C}=(x;5;-5)\).

Их скалярное произведение равно \(0\cdot x+5\cdot5+5\cdot(-5)=0\). Следовательно, направляющие векторы перпендикулярны, а значит, перпендикулярны прямые AD₁ и A₁C.

Ответ: AD₁ ⟂ A₁C.