Задача 3

а)

Для того, чтобы прямые AB и MN были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

$$\frac{SA}{SB} = \frac{SM}{SN}$$

Из условия дано, что $$\frac{a}{b} = \frac{m}{n}$$. Нам нужно проверить, следует ли из этого, что $$\frac{SA}{SB} = \frac{SM}{SN}$$.

Выразим SM и SN через данные величины:

$$SM = SA + AM = a + m$$ $$SN = SB + BN = b + n$$

Тогда равенство, которое нужно проверить, выглядит так:

$$\frac{a}{b} = \frac{a+m}{b+n}$$

Умножим обе части на $$b(b+n)$$:

$$a(b+n) = b(a+m)$$ $$ab + an = ba + bm$$ $$an = bm$$ $$\frac{a}{b} = \frac{m}{n}$$

Это равенство дано в условии. Значит, прямые AB и MN параллельны.

Ответ: Да, прямые AB и MN параллельны.

б)

Пусть ∠KAC = ∠ABC = α. Рассмотрим треугольники ABC и KAC. У них ∠ABC = ∠KAC = α, и ∠ACB - общий. Следовательно, треугольники ABC и KAC подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$\frac{AC}{KC} = \frac{BC}{AC}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{3}{KC} = \frac{5}{3}$$

Выразим KC:

$$KC = \frac{3 \cdot 3}{5} = \frac{9}{5} = 1.8$$

Ответ: KC = 1.8