Задача из изображения: Доказать, что биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от его сторон.

Доказательство: Пусть дан угол \(\angle ABC\) и биссектриса \(BD\) этого угла. Рассмотрим точку \(P\) на биссектрисе. Опустим перпендикуляры \(PK\) и \(PL\) на стороны угла \(AB\) и \(BC\) соответственно. Нужно доказать, что \(PK = PL\). 1. Дано: * \(\angle ABC\) * \(BD\) - биссектриса \(\angle ABC\) * \(P \in BD\) * \(PK \perp AB, PL \perp BC\) 2. Доказать: \(PK = PL\) 3. Доказательство: Рассмотрим треугольники \(\triangle BPK\) и \(\triangle BPL\). * \(\angle PBK = \angle PBL\) (так как \(BD\) - биссектриса \(\angle ABC\)) * \(\angle PKB = \angle PLB = 90^\circ\) (так как \(PK \perp AB, PL \perp BC\)) * \(BP\) - общая сторона Следовательно, \(\triangle BPK = \triangle BPL\) (по гипотенузе и острому углу). Из равенства треугольников следует, что \(PK = PL\) (как соответствующие стороны). 4. Обратное утверждение: Пусть дана точка \(Q\), находящаяся внутри угла \(\angle ABC\) и равноудаленная от сторон угла, т.е. расстояния от \(Q\) до \(AB\) и \(BC\) равны. Опустим перпендикуляры \(QM\) и \(QN\) на стороны \(AB\) и \(BC\) соответственно, и пусть \(QM = QN\). Нужно доказать, что \(Q\) лежит на биссектрисе угла \(\angle ABC\). Рассмотрим треугольники \(\triangle BMQ\) и \(\triangle BNQ\). * \(QM = QN\) (по условию) * \(\angle BMQ = \angle BNQ = 90^\circ\) (так как \(QM \perp AB, QN \perp BC\)) * \(BQ\) - общая сторона Следовательно, \(\triangle BMQ = \triangle BNQ\) (по гипотенузе и катету). Из равенства треугольников следует, что \(\angle MBQ = \angle NBQ\). Это означает, что \(BQ\) - биссектриса \(\angle ABC\), и точка \(Q\) лежит на биссектрисе угла \(\angle ABC\). Таким образом, биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудаленных от его сторон. Что и требовалось доказать.