Задача 2. Катер проплыл расстояние 60 км против течения реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 6 часов. Скорость течения реки составляет 3 км/ч. Найдите скорость катера в стоячей воде.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. 1. Анализ задачи Эта задача связана с движением по воде. Когда катер плывет по течению реки, его скорость увеличивается на скорость течения. Когда плывет против течения, его скорость уменьшается на скорость течения. * Путь в одну сторону: 60 км * Общее время: 6 часов * Скорость течения: 3 км/ч * Неизвестно: скорость катера в стоячей воде (обозначим ее за (x)) 2. Составление уравнения Пусть (t_1) – время, которое катер плыл против течения, а (t_2) – время, которое катер плыл по течению. Мы знаем, что: * (t_1 + t_2 = 6) (общее время) Скорость катера против течения: (x - 3) км/ч. Скорость катера по течению: (x + 3) км/ч. Так как расстояние в обе стороны одинаковое, мы можем записать: * (60 = (x - 3) cdot t_1) (путь против течения) * (60 = (x + 3) cdot t_2) (путь по течению) Выразим (t_1) и (t_2) через эти уравнения: * (t_1 = \frac{60}{x - 3}) * (t_2 = \frac{60}{x + 3}) Подставим эти выражения в уравнение (t_1 + t_2 = 6): \[\frac{60}{x - 3} + \frac{60}{x + 3} = 6\] 3. Решение уравнения Умножим обе части уравнения на ((x - 3)(x + 3)), чтобы избавиться от дробей: \[60(x + 3) + 60(x - 3) = 6(x^2 - 9)\] Раскроем скобки: \[60x + 180 + 60x - 180 = 6x^2 - 54\] Упростим: \[120x = 6x^2 - 54\] Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[6x^2 - 120x - 54 = 0\] Разделим обе части уравнения на 6, чтобы упростить его: \[x^2 - 20x - 9 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: (D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 cdot 1 cdot (-9) = 400 + 36 = 436) (x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + \sqrt{436}}{2} = \frac{20 + 2\sqrt{109}}{2} = 10 + \sqrt{109}) (x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - \sqrt{436}}{2} = \frac{20 - 2\sqrt{109}}{2} = 10 - \sqrt{109}) Поскольку скорость не может быть отрицательной, (x_2) не подходит. (x = 10 + \sqrt{109} \approx 10 + 10.44 = 20.44) км/ч 4. Ответ Скорость катера в стоячей воде примерно 20.44 км/ч.