Задача: На доске написано пятизначное число 13555. Каждую минуту Ваня может заменить любую цифру этого числа на последнюю цифру суммы цифр этого числа (например, спустя минуту Ваня может заменить четвёртую цифру на последнюю цифру суммы цифр 1+3+5+5+5= 19, получив таким образом число 13595). Выберите все пятизначные числа среди перечисленных, которые Ваня может получить спустя некоторое время.

Разберем условие задачи. Исходное число 13555. Ваня может заменить любую цифру числа на последнюю цифру суммы цифр числа. Сумма цифр числа 13555 равна 1+3+5+5+5 = 19. Последняя цифра суммы - 9. Значит, за одну операцию Ваня может заменить любую цифру в числе 13555 на 9. Например, он может получить числа: 93555, 19555, 13955, 13595, 13559. Теперь посмотрим, что будет происходить дальше. Если Ваня, например, получил число 93555, то сумма цифр этого числа 9+3+5+5+5 = 27, последняя цифра суммы - 7. Значит, за одну операцию он может заменить любую цифру в числе 93555 на 7. Если Ваня получил число 19555, то сумма цифр этого числа 1+9+5+5+5 = 25, последняя цифра суммы - 5. Значит, за одну операцию он может заменить любую цифру в числе 19555 на 5. Если Ваня получил число 13955, то сумма цифр этого числа 1+3+9+5+5 = 23, последняя цифра суммы - 3. Значит, за одну операцию он может заменить любую цифру в числе 13955 на 3. Если Ваня получил число 13595, то сумма цифр этого числа 1+3+5+9+5 = 23, последняя цифра суммы - 3. Значит, за одну операцию он может заменить любую цифру в числе 13595 на 3. Если Ваня получил число 13559, то сумма цифр этого числа 1+3+5+5+9 = 23, последняя цифра суммы - 3. Значит, за одну операцию он может заменить любую цифру в числе 13559 на 3. Заметим, что если сумма цифр числа имеет последнюю цифру 3, то дальше сумма цифр всегда будет иметь последнюю цифру 3. Действительно, если у нас есть число, которое содержит цифры, среди которых есть цифра, которую можно заменить на 3, то сумма цифр этого числа изменится только на величину, кратную (3-x), где x - одна из цифр числа. То есть, последняя цифра суммы цифр может быть только 3 или 9 или 7 или 5. Изначальная сумма цифр 1+3+5+5+5=19. Последняя цифра 9. Заменяем одну из цифр на 9. Например, заменяем 1 на 9. Получаем число 93555. Сумма цифр 9+3+5+5+5=27. Последняя цифра 7. Заменяем одну из цифр на 7. Например, заменяем 3 на 7. Получаем число 17555. Сумма цифр 1+7+5+5+5=23. Последняя цифра 3. Заменяем одну из цифр на 3. Например, заменяем 5 на 3. Получаем число 13355. Сумма цифр 1+3+3+5+5=17. Последняя цифра 7. Таким образом, мы можем получать числа, последняя цифра суммы цифр которых равна 9, 7, 5 или 3. При этом, если мы получаем число, последняя цифра суммы цифр которого равна 3, то дальше последняя цифра суммы цифр всегда будет равна 3. Ответ: Ваня может получить числа, последняя цифра суммы цифр которых равна 9, 7, 5 или 3.