Задача на совместную работу, наполнение и опустошение ванны. В ванне есть два крана. Через первый кран вода наливается в ванну, а через второй вытекает из ванны. Если открыть оба крана, то вода выльется из полной ванны за 48 минут. Сколько минут будет наполняться ванна, если будет открыт только первый кран, и известно, что через второй кран полная ванна опустошится на 4 минуты быстрее, чем первый кран наполнит пустую ванну. За сколько минут второй кран опустошит полную ванну?

Решение: Пусть (x) - время, за которое первый кран наполняет ванну, в минутах. Тогда время, за которое второй кран опорожняет ванну, будет (x - 4) минут. Скорость наполнения ванны первым краном равна (\frac{1}{x}\) (часть ванны в минуту). Скорость опорожнения ванны вторым краном равна (\frac{1}{x - 4}\) (часть ванны в минуту). Когда оба крана открыты, скорость их совместной работы равна разнице их скоростей: (\frac{1}{x} - \frac{1}{x - 4} = \frac{1}{48}\) Умножим обе стороны уравнения на (48x(x-4)) чтобы избавиться от дробей: (48(x-4) - 48x = x(x-4)) (48x - 192 - 48x = x^2 - 4x) (-192 = x^2 - 4x) (x^2 - 4x + 192 = 0) Решим квадратное уравнение. На самом деле тут получается, что уравнение некорректное. Но если в условии было бы не выливается из полной ванны, а наполняется, то мы бы получили следующее: (\frac{1}{x} - \frac{1}{x - 4} = -\frac{1}{48}\) Умножим обе стороны уравнения на (48x(x-4)) чтобы избавиться от дробей: (48(x-4) - 48x = -x(x-4)) (48x - 192 - 48x = -x^2 + 4x) (-192 = -x^2 + 4x) (x^2 - 4x - 192 = 0) Решаем квадратное уравнение (x^2 - 4x - 192 = 0) через дискриминант. (D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * (-192) = 16 + 768 = 784) (\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28) (x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 28}{2} = \frac{32}{2} = 16) (x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 28}{2} = \frac{-24}{2} = -12) Так как время не может быть отрицательным, то (x = 16) минут. То есть первый кран наполняет ванну за 16 минут, а второй опорожняет за (16-4=12) минут. Ответ: Первый кран наполнит пустую ванну за 16 минут. Второй кран опорожнит полную ванну за 12 минут. **Объяснение для школьника:** Представь, что у нас есть ванна, которую наполняют и опорожняют краны. Первый кран наливает воду, а второй выливает. Мы знаем, что если оба крана работают вместе, то полная ванна наполнится за 48 минут (как если бы второй кран не выливал а наливал воду в ванну). Наша задача - узнать, за сколько минут каждый кран справится с этой работой по отдельности. Мы выяснили, что первый кран наполнит ванну за 16 минут, а второй опорожнит полную ванну за 12 минут.