Задача: Найти максимально возможное количество натуральных делителей числа $$n^3$$, если $$n^2$$ имеет 81 натуральный делитель. Известно, что разложение натурального числа $$n$$ на различные простые множители имеет вид $$n = p^s q^t$$, где $$s, t$$ - положительные натуральные числа.

Разберем решение задачи по шагам: 1. Анализ условия: Нам дано, что $$n = p^s q^t$$, где $$p$$ и $$q$$ - простые числа, а $$s$$ и $$t$$ - натуральные числа. Также известно, что $$n^2$$ имеет 81 натуральный делитель. Наша цель – найти количество натуральных делителей числа $$n^3$$. 2. Количество делителей $$n^2$$: $$n^2 = (p^s q^t)^2 = p^{2s} q^{2t}$$. Количество делителей числа $$n^2$$ вычисляется по формуле: $$(2s + 1)(2t + 1)$$. По условию, это число равно 81. Значит, $$(2s + 1)(2t + 1) = 81$$. 3. Возможные варианты для $$2s+1$$ и $$2t+1$$: Так как $$2s+1$$ и $$2t+1$$ - нечетные числа, рассмотрим нечетные делители числа 81. Это 1, 3, 9, 27, 81. Возможные пары $$(2s+1, 2t+1)$$: * (1, 81) * (3, 27) * (9, 9) * (27, 3) * (81, 1) 4. Находим $$s$$ и $$t$$ для каждой пары: * Если $$(2s+1, 2t+1) = (1, 81)$$, то $$2s = 0$$ и $$2t = 80$$, то есть $$s = 0$$ и $$t = 40$$. Но $$s$$ должно быть натуральным числом, значит, этот вариант не подходит. * Если $$(2s+1, 2t+1) = (3, 27)$$, то $$2s = 2$$ и $$2t = 26$$, то есть $$s = 1$$ и $$t = 13$$. * Если $$(2s+1, 2t+1) = (9, 9)$$, то $$2s = 8$$ и $$2t = 8$$, то есть $$s = 4$$ и $$t = 4$$. * Если $$(2s+1, 2t+1) = (27, 3)$$, то $$2s = 26$$ и $$2t = 2$$, то есть $$s = 13$$ и $$t = 1$$. * Если $$(2s+1, 2t+1) = (81, 1)$$, то $$2s = 80$$ и $$2t = 0$$, то есть $$s = 40$$ и $$t = 0$$. Но $$t$$ должно быть натуральным числом, значит, этот вариант не подходит. 5. Выражение для $$n^3$$: $$n^3 = (p^s q^t)^3 = p^{3s} q^{3t}$$. Количество делителей числа $$n^3$$ вычисляется по формуле: $$(3s + 1)(3t + 1)$$. 6. Вычисляем количество делителей $$n^3$$ для каждой пары $$s$$ и $$t$$: * Если $$s = 1$$ и $$t = 13$$, то количество делителей $$n^3$$ равно $$(3cdot1 + 1)(3cdot13 + 1) = (4)(40) = 160$$. * Если $$s = 4$$ и $$t = 4$$, то количество делителей $$n^3$$ равно $$(3cdot4 + 1)(3cdot4 + 1) = (13)(13) = 169$$. * Если $$s = 13$$ и $$t = 1$$, то количество делителей $$n^3$$ равно $$(3cdot13 + 1)(3cdot1 + 1) = (40)(4) = 160$$. 7. Выбираем максимальное значение: Максимальное количество делителей $$n^3$$ равно 169. Ответ: 169