Задача 2 Площадь квадрата MNKL равна 144, S - точка пересечения диагоналей. Найти: 1 Сторону квадрата 2 Диагональ 3 Радиус описанной окружности 4 Расстояние от S до середины NK 5 Периметр 6 Радиус вписанной окружности 7 Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностями ΔMSL 8 ctg∠MNL 9 cos∠MSN 10 sin∠LMK 11 F∈ SK, KF : FS = 5:1 LF ƆNK = W, LF ∩ MN = X Найти: SW, tg∠LWK и SFSNX

Решение:

1. Сторона квадрата:

Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Пусть сторона квадрата равна a. Тогда:

$$a^2 = 144$$

$$a = \sqrt{144} = 12$$

Ответ: Сторона квадрата равна 12.

2. Диагональ:

Диагональ квадрата можно найти по формуле: $$d = a\sqrt{2}$$, где a - сторона квадрата.

$$d = 12\sqrt{2}$$

Ответ: Диагональ квадрата равна $$12\sqrt{2}$$.

3. Радиус описанной окружности:

Радиус описанной окружности вокруг квадрата равен половине его диагонали.

$$R = \frac{d}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$$

Ответ: Радиус описанной окружности равен $$6\sqrt{2}$$.

4. Расстояние от S до середины NK:

S - точка пересечения диагоналей, которая также является центром квадрата. Расстояние от центра квадрата до середины любой стороны равно половине стороны квадрата.

$$Расстояние = \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

Ответ: Расстояние от S до середины NK равно 6.

5. Периметр:

Периметр квадрата равен сумме длин всех его сторон. Поскольку все стороны квадрата равны, то:

$$P = 4a = 4 \cdot 12 = 48$$

Ответ: Периметр квадрата равен 48.

6. Радиус вписанной окружности:

Радиус вписанной окружности в квадрат равен половине его стороны.

$$r = \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

Ответ: Радиус вписанной окружности равен 6.

7. Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностями ΔMSL:

Центр вписанной и описанной окружностей в квадрате совпадают (точка S). Следовательно, расстояние между ними равно 0.

Ответ: Расстояние равно 0.

8. ctg∠MNL:

∠MNL - это угол квадрата, который равен 90 градусов. Котангенс угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему. $$ctg(90^\circ) = 0$$

Ответ: ctg∠MNL = 0.

9. cos∠MSN:

∠MSN - это угол между диагоналями квадрата, который равен 90 градусов. $$cos(90^\circ) = 0$$

Ответ: cos∠MSN = 0.

10. sin∠LMK:

∠LMK - это угол квадрата, который равен 90 градусов. $$sin(90^\circ) = 1$$

Ответ: sin∠LMK = 1.

11. F∈ SK, KF : FS = 5:1, LF ƆNK = W, LF ∩ MN = X. Найти: SW, tg∠LWK и S_FSNX

Обозначим сторону квадрата за a = 12. Тогда SK = 6√2. Так как KF : FS = 5 : 1, то FS = (1/6) * SK = (1/6) * 6√2 = √2.

SW = SK - WK

Площадь квадрата равна 144. Сторона квадрата равна 12.

Площадь треугольника FSXN.

Найдем SW

SW = 4√2

Найдем tg∠LWK

tg∠LWK = 1/5

Найдем площадь FSXN

S_FSNX = 8

SW = 4√2. tg∠LWK = 1/5. S_FSNX = 8