Задача по математике: На клетчатом листе нарисованы два прямоугольника точно по линиям клеток. У первого прямоугольника вертикальная сторона длиннее горизонтальной, а у второго — наоборот. Какой может быть максимально возможная площадь их пересечения, если первый прямоугольник состоит из 225 клеток, а второй — из 224? (Наложения происходят только по вертикали и горизонтали, то есть пересечение тоже является прямоугольником, составленным из клеток.)

Давайте решим эту задачу. 1. Разложение на множители: * Разложим число 225 на множители, чтобы найти возможные размеры первого прямоугольника. Так как вертикальная сторона должна быть длиннее горизонтальной, нам нужно найти пары множителей, где один множитель больше другого. $225 = 15 cdot 15 = 25 cdot 9 = 45 cdot 5 = 75 cdot 3 = 225 cdot 1$ Подходящие пары: (25, 9), (45, 5), (75, 3), (225, 1) - это размеры первого прямоугольника (высота, ширина). * Разложим число 224 на множители, чтобы найти возможные размеры второго прямоугольника. Так как горизонтальная сторона должна быть длиннее вертикальной, нам нужно найти пары множителей, где один множитель больше другого. $224 = 16 cdot 14 = 32 cdot 7 = 56 cdot 4 = 112 cdot 2 = 224 cdot 1$ Подходящие пары: (14, 16), (7, 32), (4, 56), (2, 112), (1, 224) - это размеры второго прямоугольника (высота, ширина). 2. Анализ пересечения: Чтобы площадь пересечения была максимальной, нужно чтобы стороны прямоугольников были как можно ближе друг к другу. 3. Наибольшая общая площадь: * Рассмотрим прямоугольник 225 со сторонами 25 и 9, и прямоугольник 224. Попробуем подобрать стороны второго прямоугольника близкие к сторонам первого. * Ближайшая к 25 сторона второго прямоугольника 16 или 32, а к 9 – 14 или 7. Возьмём прямоугольник 224 со сторонами 16 и 14. * Максимальная высота пересечения будет min(25, 14) = 14. * Максимальная ширина пересечения будет min(9, 16) = 9. * Площадь пересечения: $14 cdot 9 = 126$ * Рассмотрим прямоугольник 225 со сторонами 45 и 5, и прямоугольник 224. Попробуем подобрать стороны второго прямоугольника близкие к сторонам первого. * Ближайшая к 45 сторона второго прямоугольника 32 или 56, а к 5 – 4 или 7. Возьмём прямоугольник 224 со сторонами 32 и 7. * Максимальная высота пересечения будет min(45, 7) = 7. * Максимальная ширина пересечения будет min(5, 32) = 5. * Площадь пересечения: $7 cdot 5 = 35$ * Рассмотрим прямоугольник 225 со сторонами 75 и 3, и прямоугольник 224. Попробуем подобрать стороны второго прямоугольника близкие к сторонам первого. * Ближайшая к 75 сторона второго прямоугольника 56 или 112, а к 3 – 2 или 4. Возьмём прямоугольник 224 со сторонами 112 и 2. * Максимальная высота пересечения будет min(75, 2) = 2. * Максимальная ширина пересечения будет min(3, 112) = 3. * Площадь пересечения: $2 cdot 3 = 6$ * Рассмотрим прямоугольник 225 со сторонами 225 и 1, и прямоугольник 224. Попробуем подобрать стороны второго прямоугольника близкие к сторонам первого. * Ближайшая к 225 сторона второго прямоугольника 224, а к 1 – 1. Возьмём прямоугольник 224 со сторонами 224 и 1. * Максимальная высота пересечения будет min(225, 1) = 1. * Максимальная ширина пересечения будет min(1, 224) = 1. * Площадь пересечения: $1 cdot 1 = 1$ Сравнивая все результаты, наибольшая площадь пересечения равна 126. Ответ: 126