Задача про мышек и сыр: В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели одну головку сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 11, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в два раза меньше, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Пусть $$x$$ - количество головок сыра, которое хранилось в погребе изначально, а $$y$$ - количество мышек. В первую ночь мышки съели одну головку сыра, и каждая мышка съела $$\frac{1}{y}$$ часть головки. Значит, всего было съедено 1 головку сыра. Осталось $$x-1$$ головок сыра. Во вторую ночь пришли 11 мышек, и каждая съела в два раза меньше, чем в первую ночь, то есть $$\frac{1}{2y}$$ часть головки сыра. Всего они съели $$11 \cdot \frac{1}{2y} = \frac{11}{2y}$$ головок сыра. Получается, что они доели оставшиеся $$x-1$$ головок сыра, значит, $$\frac{11}{2y} = x-1$$. Из условия первой ночи следует, что $$y$$ мышек съели 1 головку сыра, то есть $$\frac{y}{y} = 1$$. Таким образом, у нас есть уравнение: $$\frac{11}{2y} = x-1$$. Выразим $$y$$ из этого уравнения: $$2y(x-1) = 11$$, тогда $$y = \frac{11}{2(x-1)}$$. Так как количество мышек $$y$$ должно быть целым числом, то $$2(x-1)$$ должно быть делителем числа 11. Единственные делители числа 11 - это 1 и 11. Если $$2(x-1) = 1$$, то $$x-1 = \frac{1}{2}$$, и $$x = 1.5$$, что невозможно, так как количество головок сыра должно быть целым числом. Если $$2(x-1) = 11$$, то $$x-1 = \frac{11}{2}$$, и $$x = 6.5$$, что тоже невозможно, так как количество головок сыра должно быть целым числом. Однако, мы знаем, что в первую ночь мышки съели *одну* головку сыра. Если мы предположим, что в первую ночь мышки съели не одну, а несколько головок сыра, скажем $$n$$, то уравнение примет вид: $$\frac{11}{2y} = x-n$$, и $$y = \frac{11}{2(x-n)}$$. Тогда $$y$$ - число мышек, должно быть целым. Значит, $$2(x-n)$$ должно быть делителем 11. Предположим, что мышки в первую ночь съели 6 головок сыра. Тогда остается: $$\frac{11}{2y} = x-6$$. Значит, $$2(x-6)$$ должно быть делителем 11. $$x-6$$ может быть равно либо $$\frac{1}{2}$$ или $$\frac{11}{2}$$. Тогда $$x$$ может быть $$6.5$$ или $$11.5$$, что не является целым числом. Предположим, мышки в первую ночь съели не 1 головку, а 5 головок сыра. $$\frac{11}{2y} = x-5$$. $$2y(x-5) = 11$$. $$y = \frac{11}{2(x-5)}$$. Если $$x=6$$, то $$y = \frac{11}{2}$$. Если $$x=16$$, то $$y = \frac{1}{2}$$. Значит, $$y$$ - число мышек должно быть целым. Рассмотрим другой подход. Пусть $$x$$ - начальное количество головок, а $$y$$ - количество мышек. Первая ночь: $$y$$ мышек съели $$x$$ головок сыра, при этом каждая мышка съела $$\frac{x}{y}$$ головок. Вторая ночь: 11 мышек съели оставшийся сыр, и каждая мышка съела $$\frac{2x}{y}$$ головок. Тогда получаем уравнение $$x$$ - начальное количество головок, $$x-1$$ осталось после первой ночи, во вторую ночь мыши съели $$\frac{11}{2y}$$ головок, тогда $$\frac{11}{2} * \frac{y}{x} = x-1$$. $$\frac{11y}{2x} = x-1$$, то есть $$11y = 2x(x-1)$$. Это значит, что $$x$$ головок изначально хранилось. Посмотрим на таблицу: x=12: $$11y = 2 * 12 * 11$$, значит $$y = 24$$ Тогда в первую ночь мышки съели 12 головок сыра и каждая мышка съела $$\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$$ головки. Во вторую ночь 11 мышек съели $$12-1 = 11$$ головок, и каждая мышка съела $$\frac{11}{11} = 1$$, что в два раза больше, чем в первую ночь. Ответ: 12