Задача: В окружности хорда CD пересекает диаметр AB в точке K, \(\angle DKA = 60^\circ\), \(\angle DEK = \angle CFK = 90^\circ\), EF = 10 см. Найдите хорду CD.

Решение: 1. Анализ условия: * Хорда CD пересекает диаметр AB в точке K. * Угол \(\angle DKA = 60^\circ\). * \(\angle DEK = \angle CFK = 90^\circ\), то есть DE и CF – перпендикуляры к AB. * EF = 10 см. * Нужно найти длину хорды CD. 2. Построения и обозначения: * Пусть O – центр окружности. * Проведём радиусы OD и OC. Тогда \(\triangle ODC\) – равнобедренный (OD = OC = радиус окружности). * OK = OF - KF = OF - DE. Так как EF = 10 см и OF = OE + EF, то OE = OF - 10. 3. Рассмотрение треугольников: * В прямоугольном треугольнике ODE: \(\angle DOE = 90^\circ - \angle ODE\). * В прямоугольном треугольнике OCF: \(\angle COF = 90^\circ - \angle OCF\). * Учитывая, что \(\angle DKA = 60^\circ\), то \(\angle DKE = 60^\circ\). Значит, \(\angle DOK = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). 4. Выражение OK и OF через радиус R: * Пусть радиус окружности равен R. * Тогда OD = OC = R. * Из \(\triangle ODE\): OE = OD * cos(\(\angle DOE\)) = R * cos(\(\angle DOE\)). * Из \(\triangle OCF\): OF = OC * cos(\(\angle COF\)) = R * cos(\(\angle COF\)). * Т.к. \(\angle DOK = 120^\circ\), то \(\angle EOD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). 5. Нахождение OF: * Рассмотрим \(\triangle DOK\): \(\angle DKO = 60^\circ\), \(\angle DOK = 120^\circ\). * \(DE = OD \cdot \sin(\angle DOE) = R \cdot \sin(60^\circ) = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\) * \(OK = OD \cdot \cos(\angle DOK) = R \cdot \cos(60^\circ) = \frac{R}{2}\) * \(OF = OE + EF = \frac{R}{2} + 10\) 6. Вычисление FC: * Рассмотрим \(\triangle COF\): \(CF = OC \cdot \sin(\angle COF) = OC \cdot \sin(30^\circ) = \frac{R \sqrt{3}}{2}\) * \(OF = OC \cdot \cos(\angle COF) = R \cdot \cos(30^\circ) = \frac{R}{2}+10\) 7. Нахождение R: \(\frac{R}{2} + 10 = \frac{R \sqrt{3}}{2}\) => \(R = 10(\sqrt{3} + 1)\) 8. Нахождение CD: Проведем высоту OL в \(\triangle COD\) : \(CL = \sqrt{R^2 - OL^2}\) Т.к. \(\triangle COD\) - равнобедренный, то CL = LD, следовательно, CD = 2CL \(CD = 2 \sqrt{R^2 - OL^2}\) Т.к. \(OK = OF - KF = OF - DE = \frac{R}{2}\), то \(OL = OK\), следовательно, \(OL = \frac{R}{2}\) \(CD = 2 \sqrt{R^2 - \frac{R^2}{4}} = 2 \sqrt{\frac{3R^2}{4}} = R \sqrt{3} = 10(\sqrt{3} + 1) \sqrt{3} = 10(3 + \sqrt{3}) \approx 47.32\) Ответ: Хорда CD равна приблизительно 47.32 см.