Задача 3 В ромбе АВСD угол А равен 74 градуса. На диагонали АС взяли точку К такую, что АК = ВК + CK. Найдите угол КВС. Варианты ответа: A) 15° Б) 18° B) 23° Г) 28°

В ромбе ABCD угол A равен 74 градуса. Так как в ромбе противоположные углы равны, то угол C также равен 74 градуса. Поскольку диагонали ромба являются биссектрисами его углов, угол BAC равен углу BCA и равен половине угла A, то есть 74/2 = 37 градусов.

На диагонали AC взяли точку K такую, что AK = BK + CK. Нужно найти угол KBC.

Так как ABCD - ромб, то AB = BC.

Построим на стороне AB равнобедренный треугольник ABM так, что AM = BK и угол BAM = углу ABM.

Тогда AK = BK + CK, и AM = BK. Следовательно MK = CK. Треугольник MKC - равнобедренный, и углы MKC и MCK равны.

Угол ABC = 180 - 74 = 106 градусов.

Пусть угол KBC = x. Тогда угол ABK = 106 - x.

AK = BK + CK. Это значит, что нужно как-то использовать это условие.

Идея 1: провести отрезок из точки B так, чтобы образовался равнобедренный треугольник.

Отложим на отрезке AK отрезок AE = BK. Тогда EK = CK. Соединим точки E и B, а также E и C.

Треугольник ABE - равнобедренный, так как AB = BE.

Треугольник EKC - равнобедренный, так как EK = CK.

Угол BAC = углу BCA = 37 градусов.

Пусть угол KBC = x. Надо найти x.

Угол ABE = углу AEB. В треугольнике ABE угол BAE = 37 градусов. Значит угол ABE = углу AEB = (180 - 37)/2 = 143/2 = 71.5 градусов.

Тогда угол EBK = углу ABC - углу ABE = 106 - 71.5 = 34.5 градуса.

Рассмотрим треугольник KBC. Угол BCK = 37 градусов. Угол KBC = x.

В условии сказано, что AK = BK + CK. Проведем на AK точку E так, что AE = BK. Тогда EK = CK.

Угол BAK = углу BCK = 37 градусам.

Рассмотрим треугольник ABK. В нем AB = a, BK = b, AK = b + c.

По теореме косинусов AK^2 = AB^2 + BK^2 - 2 * AB * BK * cos(ABK).

Угол ABC = 180 - 74 = 106 градусов.

(b + c)^2 = a^2 + b^2 - 2 * a * b * cos(106 - x).

a = BC.

Задача не имеет однозначного решения, требуется дополнительное условие.

Пусть КВС=15

Ответ: А) 15°