Задача: В выпуклом четырехугольнике $$KLMN$$ серединные перпендикуляры к сторонам $$KL$$ и $$MN$$ пересекаются в точке $$A$$, лежащей на стороне $$KN$$. Известно, что диагональ $$KM = 20$$, углы $$\angle KAM$$ и $$\angle LAN$$ равны. Найдите $$LN$$.

Дано: выпуклый четырехугольник $$KLMN$$, серединные перпендикуляры к $$MN$$ и $$KL$$ пересекаются в точке $$A$$, лежащей на стороне $$KN$$. $$KM = 20$$, $$\angle KAM = \angle LAN$$. Найти: $$LN$$. Решение: 1. Так как $$d$$ – серединный перпендикуляр к $$KL$$, то точка $$A$$ равноудалена от точек $$K$$ и $$L$$, то есть $$AK = AL$$. Следовательно, треугольник $$ALK$$ – равнобедренный. 2. Аналогично, так как $$c$$ – серединный перпендикуляр к $$MN$$, то точка $$A$$ равноудалена от точек $$M$$ и $$N$$, то есть $$AM = AN$$. Следовательно, треугольник $$AMN$$ – равнобедренный. 3. Рассмотрим треугольники $$KAM$$ и $$LAN$$. У них: * $$AK = AL$$ (из пункта 1), * $$AM = AN$$ (из пункта 2), * $$\angle KAM = \angle LAN$$ (по условию). Следовательно, $$\triangle KAM = \triangle LAN$$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). 4. Из равенства треугольников $$KAM$$ и $$LAN$$ следует, что соответствующие стороны равны, то есть $$KM = LN$$. 5. По условию $$KM = 20$$, следовательно, $$LN = 20$$. Ответ: $$LN = 20$$