Задача 5 Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Ответ: в 2 раза

Пусть сторона основания пирамиды равна \(a\), а высота пирамиды равна \(h\).

Для описанного конуса:

• Радиус основания равен половине диагонали квадрата: \(R_{опис} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).
• Высота конуса равна высоте пирамиды: \(h\).
• Объем описанного конуса: \(V_{опис} = \frac{1}{3} \pi R_{опис}^2 h = \frac{1}{3} \pi (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 h = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2}{2} h\).

Для вписанного конуса:

• Радиус основания равен половине стороны квадрата: \(R_{впис} = \frac{a}{2}\).
• Высота конуса равна высоте пирамиды: \(h\).
• Объем вписанного конуса: \(V_{впис} = \frac{1}{3} \pi R_{впис}^2 h = \frac{1}{3} \pi (\frac{a}{2})^2 h = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2}{4} h\).

Найдем отношение объемов:

\[\frac{V_{опис}}{V_{впис}} = \frac{\frac{1}{3} \pi \frac{a^2}{2} h}{\frac{1}{3} \pi \frac{a^2}{4} h} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = \frac{4}{2} = 2\]

Таким образом, объем описанного конуса в 2 раза больше объема вписанного конуса.

Ответ: в 2 раза