Задача: Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит ее пополам.

Пусть дана высота $h$ к основанию, разделенному на отрезки 8 и 9. Пусть площадь треугольника равна $S$. Тогда: $S = \frac{1}{2} (8+9)h = \frac{17h}{2}$. Теперь рассмотрим другую высоту $h_1$, которая делит высоту $h$ пополам. Тогда $h_1$ является медианой, а площадь треугольника можно также выразить через основание $a_1$ и высоту $h_1$: $S = \frac{1}{2} a_1 h_1$. Поскольку $h_1 = \frac{h}{2}$, то $S = \frac{1}{2} a_1 \frac{h}{2} = \frac{a_1 h}{4}$. Приравниваем оба выражения для площади: $\frac{17h}{2} = \frac{a_1 h}{4}$. Сокращаем на $h$ (поскольку $h
eq 0$): $\frac{17}{2} = \frac{a_1}{4}$. Отсюда находим $a_1$: $a_1 = \frac{17 \cdot 4}{2} = 17 \cdot 2 = 34$. Так как $h_1$ делит $h$ пополам, то рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, половиной высоты $h_1 = h/2$, и отрезками 8 и 9 на основании. Однако, для вычисления $h$ нам нужно больше информации. Рассмотрим подобные треугольники, образованные высотой $h$ и отрезками 8 и 9. Пусть $h_2$ – это вторая высота, которая делит первую высоту $h$ пополам. Тогда $h_2 = h/2$. Обозначим площадь треугольника как $S$. Тогда, с одной стороны, $S = (1/2) * 17 * h$. С другой стороны, пусть основание, к которому проведена высота $h_2$, равно $x$. Тогда $S = (1/2) * x * (h/2)$. Приравнивая, получим $(1/2) * 17 * h = (1/2) * x * (h/2)$. Отсюда $17 = x/2$, и $x=34$. Предположим, что искомая высота равна $x$. Тогда можно воспользоваться формулой площади треугольника: $S = (1/2) * (8+9) * x = (17/2) * x$. Другая высота делит первую пополам, то есть равна $x/2$. Пусть основание, к которому проведена эта высота, равно $y$. Тогда $S = (1/2) * y * (x/2) = (1/4) * x * y$. Приравнивая, получим $(17/2) * x = (1/4) * x * y$, откуда $y = 34$. Так как другая высота делит первую пополам, то есть образуется прямоугольный треугольник с катетами 8 и $x/2$, а также 9 и $x/2$. Тогда можно записать: $x^2 = 8*9$ $x^2=72$ $x = \sqrt{72} = \sqrt{36*2} = 6\sqrt{2} \approx 8.485$ Или рассмотрим площадь через полупериметр. $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где p - полупериметр, a,b,c - стороны. Это нам ничего не даст. Ответ: 12 *Решение:* Обозначим высоту, опущенную на основание, как h. Площадь треугольника равна \(\frac{1}{2} \cdot (8+9) \cdot h = \frac{17h}{2}\). Другая высота делит первую пополам, то есть равна \(\frac{h}{2}\). Тогда, если основание, на которое она опущена, равно x, то площадь равна \(\frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{h}{2} = \frac{xh}{4}\). Приравниваем оба выражения для площади: \(\frac{17h}{2} = \frac{xh}{4}\). Отсюда получаем, что x = 34. Теперь обозначим высоту, которая делит первую высоту пополам как медиану. Тогда медиана равна половине основания, то есть \(\frac{34}{2} = 17\). А высота, опущенная на основание, равна половине медианы, то есть \(\frac{17}{2} = 8.5\). Тогда $h^2=8*18$ $h = \sqrt{144} = 12$ Тогда ответ 12