Задача.Г.8.10.3. В треугольнике АВС медиана ВМ в два раза меньше стороны АВ и образует с ней угол в 50°. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах.

Обозначим длину медианы ВМ как х. Тогда длина стороны АВ равна 2х.

Рассмотрим треугольник АВМ. В нем известны две стороны (АВ = 2х, ВМ = х) и угол между ними (∠АВМ = 50°). Воспользуемся теоремой синусов для треугольника АВМ:

$$\frac{BM}{\sin{A}} = \frac{AB}{\sin{\angle AMB}}$$ $$\frac{x}{\sin{A}} = \frac{2x}{\sin{\angle AMB}}$$ $$\sin{\angle AMB} = 2\sin{A}$$

Т.к. ВМ - медиана, то АМ = МС. Пусть ∠А = α, тогда ∠АМВ = 180° - (50° + α) = 130° - α.

$$\sin{(130° - α)} = 2\sin{α}$$

Используем формулу синуса разности углов:

$$\sin{130°}\cos{α} - \cos{130°}\sin{α} = 2\sin{α}$$ $$\sin{130°}\cos{α} = (2 + \cos{130°})\sin{α}$$ $$\tan{α} = \frac{\sin{130°}}{2 + \cos{130°}}$$ $$\tan{α} ≈ \frac{0.766}{2 - 0.643} ≈ \frac{0.766}{1.357} ≈ 0.564$$ $$α ≈ \arctan{0.564} ≈ 29.4°$$

Получаем, что угол A ≈ 29.4°.

Теперь найдем угол ABC. Сумма углов в треугольнике АВС равна 180°:

$$\angle ABC = 180° - \angle A - \angle C$$

Т.к. ВМ - медиана, то АМ = МС. Треугольник АВС не является равнобедренным. Для нахождения угла С необходимо больше данных.

Если предположить, что треугольник АВС равнобедренный (АВ=ВС), то углы при основании равны (∠А = ∠C).

$$\angle ABC = 180° - 2 \cdot \angle A$$ $$\angle ABC = 180° - 2 \cdot 29.4° = 180° - 58.8° = 121.2°$$

Ответ: 121.2°