Задачи 1: Точки M и K лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MP и KT к прямой b равны (MP = KT). а) Докажите, что ∠PMK = ∠TKM. б) Найдите угол ∠MKT [название угла в изображении обрезано после «∠MK…»], если ∠KMP = 35°.

а) Обозначим через P и T основания перпендикуляров на прямой b. Тогда \(MP\perp b\) и \(KT\perp b\), поэтому \(MP\parallel KT\). Отрезки MP и KT равны по условию.

Четырёхугольник MPTK имеет одну пару противоположных сторон MP и KT, которые параллельны и равны, поэтому он является параллелограммом. Следовательно, \(MK\parallel PT\). Углы \(\angle PMK\) и \(\angle TKM\) образованы соответственно параллельными сторонами, поэтому они равны.

б) По пункту а) \(\angle TKM=\angle PMK=\angle KMP=35^\circ\). Поскольку \(KT\perp b\), а \(P,T\) лежат на b, угол \(KTM\) в данном параллелограмме прямой. В треугольнике KMT:

\(\angle MKT=180^\circ-90^\circ-35^\circ=55^\circ\).

Это решение относится к наиболее вероятному прочтению обрезанного обозначения как \(\angle MKT\).

Ответ: а) \(\angle PMK=\angle TKM\); б) \(\angle MKT=55^\circ\).