Задачи для самостоятельного решения. Вариант 1 № п/п 1 Найти сумму векторов 2 Найти разность векторов 3 Найти произведение вектора на число 4 Вычислить координаты середины отрезка 5 Найти координаты вектора 6 Найти длину вектора 7 Вычислить скалярное произведение векторов 8 Найти косинус угла между векторами 9 При каких значениях эм и к векторы коллинеарны? 10 Проверьте перпендикулярность векторов Вариант 2 №п/п Название операции 1 Найти сумму векторов 2 Найти разность векторов 3 Найти пароизведение на число 4 Вычислить координаты середины отрезка 5 Найти координаты вектора 6 Найти длину вектора 7 Вычислить скалярное произведение векторов 8 Найти косинус угла между векторами 9 При каких значениях 732 и и векторы коллинеарны? 10 Проверьте перпендикулярность векторов

Для решения задач потребуется знание векторной алгебры. Приведу примеры решения задач, аналогичных представленным в вариантах. Вариант 1 1. Найти сумму векторов $$\vec{a}(1;-2;3), \vec{b}(4;0;-1)$$ $$\vec{a} + \vec{b} = (1+4; -2+0; 3-1) = (5; -2; 2)$$ 2. Найти разность векторов $$\vec{a}(4;1;-3), \vec{b}(0;-5;2)$$ $$\vec{a} - \vec{b} = (4-0; 1-(-5); -3-2) = (4; 6; -5)$$ 3. Найти произведение вектора на число $$\vec{a}(-1;3;1), \delta = -3$$ $$\delta \cdot \vec{a} = (-3\cdot(-1); -3\cdot3; -3\cdot1) = (3; -9; -3)$$ 4. Вычислить координаты середины отрезка Точка $$A(1; 2; -3)$$, Точка $$B(-3; 4; -1)$$. Точка $$C(x_c; y_c; z_c)$$ – середина отрезка $$AB$$. $$\begin{cases} x_c = \frac{x_A + x_B}{2} \\ y_c = \frac{y_A + y_B}{2} \\ z_c = \frac{z_A + z_B}{2} \end{cases}$$ $$\begin{cases} x_c = \frac{1 + (-3)}{2} = -1 \\ y_c = \frac{2 + 4}{2} = 3 \\ z_c = \frac{-3 + (-1)}{2} = -2 \end{cases}$$ $$C(-1; 3; -2)$$ 5. Найти координаты вектора Точка $$A(5; 0; -3)$$, Точка $$B(-1; 4; -7)$$. $$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-1-5; 4-0; -7-(-3)) = (-6; 4; -4)$$ 6. Найти длину вектора $$\vec{a}(5;1;-1)$$ $$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{5^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1 + 1} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$ 7. Вычислить скалярное произведение векторов $$\vec{a}(-2;3;7), \vec{b}(-9;0;2)$$ $$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b = (-2)\cdot(-9) + 3\cdot0 + 7\cdot2 = 18 + 0 + 14 = 32$$ 8. Найти косинус угла между векторами $$\vec{a}(2;0;1), \vec{b}(-3;1;2)$$ $$\cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{2\cdot(-3) + 0\cdot1 + 1\cdot2}{\sqrt{2^2+0^2+1^2} \cdot \sqrt{(-3)^2+1^2+2^2}} = \frac{-6 + 0 + 2}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{14}} = \frac{-4}{\sqrt{70}}$$ 9. При каких значениях $$m$$ и $$n$$ векторы коллинеарны? $$\vec{a}(m;3;1), \vec{b}(1;n;2)$$ Для коллинеарных векторов выполняется условие: $$\frac{x_a}{x_b} = \frac{y_a}{y_b} = \frac{z_a}{z_b}$$ $$\frac{m}{1} = \frac{3}{n} = \frac{1}{2}$$ Решаем уравнения: $$\frac{m}{1} = \frac{1}{2} \Rightarrow m = \frac{1}{2}$$ $$\frac{3}{n} = \frac{1}{2} \Rightarrow n = 6$$ 10. Проверьте перпендикулярность векторов $$\vec{a}(-4;0;1), \vec{b}(2;7;8)$$ Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0. $$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-4)\cdot2 + 0\cdot7 + 1\cdot8 = -8 + 0 + 8 = 0$$ Следовательно, векторы перпендикулярны. Вариант 2 1. Найти сумму векторов $$\vec{a}(2;-3;4), \vec{b}(-1;2;0)$$ $$\vec{a} + \vec{b} = (2-1; -3+2; 4+0) = (1; -1; 4)$$ 2. Найти разность векторов $$\vec{a}(4;-5;7), \vec{b}(3;-1;2)$$ $$\vec{a} - \vec{b} = (4-3; -5-(-1); 7-2) = (1; -4; 5)$$ 3. Найти произведение вектора на число $$\vec{a}(-2;4;0), \delta = -4$$ $$\delta \cdot \vec{a} = (-4\cdot(-2); -4\cdot4; -4\cdot0) = (8; -16; 0)$$ 4. Вычислить координаты середины отрезка Точка $$A(-3; 1; 2)$$, Точка $$B(2; -3; 1)$$. Точка $$C(x_c; y_c; z_c)$$ – середина отрезка $$AB$$. $$\begin{cases} x_c = \frac{x_A + x_B}{2} \\ y_c = \frac{y_A + y_B}{2} \\ z_c = \frac{z_A + z_B}{2} \end{cases}$$ $$\begin{cases} x_c = \frac{-3 + 2}{2} = -0.5 \\ y_c = \frac{1 + (-3)}{2} = -1 \\ z_c = \frac{2 + 1}{2} = 1.5 \end{cases}$$ $$C(-0.5; -1; 1.5)$$ 5. Найти координаты вектора Точка $$A(6; -3; 4)$$, Точка $$B(1; -4; 7)$$. $$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (1-6; -4-(-3); 7-4) = (-5; -1; 3)$$ 6. Найти длину вектора $$\vec{a}(7;2;-1)$$ $$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{7^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 4 + 1} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$$ 7. Вычислить скалярное произведение векторов $$\vec{a}(-3;2;9), \vec{b}(-7;0;3)$$ $$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b = (-3)\cdot(-7) + 2\cdot0 + 9\cdot3 = 21 + 0 + 27 = 48$$ 8. Найти косинус угла между векторами $$\vec{a}(4;1;0), \vec{b}(-5;3;1)$$ $$\cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{4\cdot(-5) + 1\cdot3 + 0\cdot1}{\sqrt{4^2+1^2+0^2} \cdot \sqrt{(-5)^2+3^2+1^2}} = \frac{-20 + 3 + 0}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{35}} = \frac{-17}{\sqrt{595}}$$ 9. При каких значениях $$m$$ и $$n$$ векторы коллинеарны? $$\vec{a}(m;5;3), \vec{b}(2;n;4)$$ Для коллинеарных векторов выполняется условие: $$\frac{x_a}{x_b} = \frac{y_a}{y_b} = \frac{z_a}{z_b}$$ $$\frac{m}{2} = \frac{5}{n} = \frac{3}{4}$$ Решаем уравнения: $$\frac{m}{2} = \frac{3}{4} \Rightarrow m = \frac{3}{2}$$ $$\frac{5}{n} = \frac{3}{4} \Rightarrow n = \frac{20}{3}$$ 10. Проверьте перпендикулярность векторов $$\vec{a}(0;-3;2), \vec{b}(9;4;6)$$ Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0. $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\cdot9 + (-3)\cdot4 + 2\cdot6 = 0 - 12 + 12 = 0$$ Следовательно, векторы перпендикулярны.