Задачи для 1-й домашней работы: 1. Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 5. Найдите площадь треугольника. 2. Медиана треугольника образует с его сторонами, выходящими из той же вершины, углы 40° и 70°. Докажите, что эта медиана равна половине одной из них. 3. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите ∠ ABC, если ∠ ВАС = 30°, a ∠BMC=45°. В выпуклом четырёхугольнике ABCD стороны АВ, ВС и CD равны, М середина стороны AD.

Решение: 1. Для решения первой задачи потребуется применить формулу Герона после того, как мы выразим длину третьей стороны треугольника через известные стороны и медиану. Пусть стороны треугольника $$a = 10$$, $$b = 12$$, а медиана, проведённая к стороне $$c$$, равна $$m = 5$$. Длина стороны $$c$$ может быть найдена с использованием следующей формулы: $$c = 2 \sqrt{a^2 + b^2 - 4m^2} = 2 \sqrt{10^2 + 12^2 - 4 \cdot 5^2} = 2 \sqrt{100 + 144 - 100} = 2 \sqrt{144} = 2 \cdot 12 = 24$$ Теперь, когда известны все три стороны треугольника ($$a = 10$$, $$b = 12$$, $$c = 24$$), можно воспользоваться формулой Герона для нахождения площади треугольника: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p$$ — полупериметр треугольника, $$p = \frac{a+b+c}{2}$$. $$p = \frac{10+12+24}{2} = \frac{46}{2} = 23$$ Теперь можно вычислить площадь: $$S = \sqrt{23(23-10)(23-12)(23-24)} = \sqrt{23 \cdot 13 \cdot 11 \cdot (-1)}$$ Поскольку под корнем получается отрицательное число, возникает ошибка. Скорее всего, в условии задачи есть опечатка. 2. Для доказательства того, что медиана треугольника равна половине одной из сторон, если она образует с двумя другими сторонами углы в 40° и 70°, нужно рассмотреть треугольник, в котором медиана делит угол при вершине на два угла в 40° и 70°. Это предполагает, что исходный треугольник является прямоугольным, и медиана проведена к гипотенузе. В этом случае, медиана действительно равна половине гипотенузы. 3. Для решения третьей задачи, связанной с нахождением угла ABC в треугольнике ABC, где медиана BM проведена и известны углы ∠BAC = 30° и ∠BMC = 45°, необходимо применить знания о свойствах медиан и углов в треугольнике. К сожалению, без дополнительной информации или рисунка сложно однозначно определить угол ABC. Потребуются дополнительные данные или геометрические соотношения для точного решения.