Задачи очного тура олимпиадной группы «Конкурс команд российских и иностранных абитуриентов (математика, физика, химия, информатика)» ТГТУ-2026 Задание №1. Математика Найти три целых корня уравнения 16 5 x3 + 3x2 − x + 5x3 + 3x2 − x + 2 = 1. Задание №2. Наименьший делитель числа, отличный от 1, будем называть минимальным. Наибольший делитель числа, отличный от самого числа, будем называть максимальным. Найдите все четырёхзначные числа, у которых максимальный делитель в 49 раз больше минимального.

Задание №1. Математика

Найти три целых корня уравнения: \[\frac{16}{x^3 + 3x^2 - x + 5} - \frac{5}{x^3 + 3x^2 - x + 2} = 1\]

Пусть y = x³ + 3x² - x, тогда уравнение принимает вид:

\[\frac{16}{y + 5} - \frac{5}{y + 2} = 1\]

Умножаем обе части уравнения на (y + 5)(y + 2), чтобы избавиться от дробей:

\[16(y + 2) - 5(y + 5) = (y + 5)(y + 2)\]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\[16y + 32 - 5y - 25 = y^2 + 7y + 10\]

\[11y + 7 = y^2 + 7y + 10\]

Приводим к квадратному уравнению:

\[y^2 - 4y + 3 = 0\]

Решаем квадратное уравнение. Используем дискриминант:

\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4\]

Находим корни:

\[y_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3\]

\[y_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = 1\]

Теперь решаем уравнения для x:

1) x³ + 3x² - x = 3

\[x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0\]

\[x^2(x + 3) - 1(x + 3) = 0\]

\[(x^2 - 1)(x + 3) = 0\]

\[(x - 1)(x + 1)(x + 3) = 0\]

\[x_1 = 1, \quad x_2 = -1, \quad x_3 = -3\]

2) x³ + 3x² - x = 1

\[x^3 + 3x^2 - x - 1 = 0\]

Это уравнение не имеет очевидных целых корней. Можно попробовать найти корни численными методами, но в рамках школьной программы это может быть затруднительно.

Вывод по Заданию №1:

Три целых корня исходного уравнения: 1, -1, -3.

Задание №2. Математика

Наименьший делитель числа, отличный от 1, будем называть минимальным. Наибольший делитель числа, отличный от самого числа, будем называть максимальным. Найдите все четырёхзначные числа, у которых максимальный делитель в 49 раз больше минимального.

Пусть n - искомое четырёхзначное число, d_min - его минимальный делитель (больше 1), и d_max - его максимальный делитель (меньше n). По условию, d_max = 49 * d_min.

Так как d_min - минимальный делитель, то это простое число. Максимальный делитель d_max равен n / d_min. Тогда можно записать:

\[\frac{n}{d_{min}} = 49 d_{min}\]

\[n = 49 d_{min}^2\]

Поскольку n - четырёхзначное число, то 1000 ≤ n ≤ 9999. Подставим выражение для n:

\[1000 \le 49 d_{min}^2 \le 9999\]

Разделим все части неравенства на 49:

\[\frac{1000}{49} \le d_{min}^2 \le \frac{9999}{49}\]

\[20.41 \le d_{min}^2 \le 204.06\]

Извлекаем квадратный корень:

\[\sqrt{20.41} \le d_{min} \le \sqrt{204.06}\]

\[4.52 \le d_{min} \le 14.28\]

Так как d_min - простое число, то возможные значения: 5, 7, 11, 13.

Проверяем каждое из этих значений:

• Если d_min = 5, то n = 49 * 5² = 49 * 25 = 1225 (четырёхзначное число).
• Если d_min = 7, то n = 49 * 7² = 49 * 49 = 2401 (четырёхзначное число).
• Если d_min = 11, то n = 49 * 11² = 49 * 121 = 5929 (четырёхзначное число).
• Если d_min = 13, то n = 49 * 13² = 49 * 169 = 8281 (четырёхзначное число).

Таким образом, все найденные значения n являются четырёхзначными числами.

Вывод по Заданию №2:

Четырёхзначные числа, удовлетворяющие условию: 1225, 2401, 5929, 8281.