Задан единичный куб (см. рис. 1). Задание 1. Найдите: а) вектор, равный \(\overrightarrow{AB}-\frac12\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{C_1O_1}\), начало и конец которого являются вершинами данного куба; б) \(\left|\overrightarrow{CC_1}-\overrightarrow{O_1C_1}+\overrightarrow{O_1O}\right|\); в) \(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC_1}\).

Обозначим ребро куба через 1 и зададим координаты: \(A=(0,0,0)\), \(D=(1,0,0)\), \(B=(0,1,0)\), \(C=(1,1,0)\); верхние вершины имеют третью координату 1. Тогда \(O=(\frac12,\frac12,0)\), \(O_1=(\frac12,\frac12,1)\).

а) \(\overrightarrow{AB}=(0,1,0)\), \(\overrightarrow{DB}=(-1,1,0)\), \(\overrightarrow{DD_1}=(0,0,1)\), \(\overrightarrow{C_1O_1}=(-\frac12,-\frac12,0)\).

Складываем координаты: \((0,1,0)-\frac12(-1,1,0)+(0,0,1)+(-\frac12,-\frac12,0)=(0,0,1)\). Это, например, вектор \(\overrightarrow{AA_1}\).

б) \(\overrightarrow{CC_1}=(0,0,1)\), \(\overrightarrow{O_1C_1}=(\frac12,\frac12,0)\), \(\overrightarrow{O_1O}=(0,0,-1)\). Поэтому сумма равна \((-\frac12,-\frac12,0)\), а её длина \(\sqrt{(\frac12)^2+(\frac12)^2}=\frac{\sqrt2}{2}\) см.

в) \(\overrightarrow{AD}=(1,0,0)\), \(\overrightarrow{BC_1}=(1,0,1)\). Следовательно, \(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC_1}=1\cdot1+0\cdot0+0\cdot1=1\).

Ответ: а) \(\overrightarrow{AA_1}\); б) \(\frac{\sqrt2}{2}\) см; в) 1.