Задание № 5 (5 баллов). Решите экономическую задачу. Кривая спроса на продукцию монополии описывается уравнением P= 90-2Q. Предельные издержки монополиста постоянны и равны 30 ден. ед., а фиксированные издержки составляют 400 ден. ед. Определите максимальный уровень монопольной прибыли.

Для решения экономической задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить функцию общей выручки (TR) как произведение цены (P) на количество (Q): $$TR = P \cdot Q = (90-2Q) \cdot Q = 90Q - 2Q^2$$
2. Определить функцию предельной выручки (MR) как производную от общей выручки по количеству: $$MR = \frac{dTR}{dQ} = 90 - 4Q$$
3. Приравнять предельную выручку (MR) к предельным издержкам (MC) для нахождения оптимального количества (Q), при котором монопольная прибыль максимальна. Предельные издержки (MC) даны как 30: $$90 - 4Q = 30$$
4. Решить уравнение для Q: $$4Q = 90 - 30 = 60$$ $$Q = \frac{60}{4} = 15$$
5. Подставить найденное значение Q в функцию спроса для определения цены (P): $$P = 90 - 2 \cdot 15 = 90 - 30 = 60$$
6. Определить общие издержки (TC). Они состоят из переменных издержек (VC) и фиксированных издержек (FC). Переменные издержки - это предельные издержки, умноженные на количество: $$VC = MC \cdot Q = 30 \cdot 15 = 450$$ Общие издержки: $$TC = VC + FC = 450 + 400 = 850$$
7. Определить общую выручку (TR) при оптимальном количестве: $$TR = P \cdot Q = 60 \cdot 15 = 900$$
8. Рассчитать максимальную прибыль (π) как разницу между общей выручкой (TR) и общими издержками (TC): $$\pi = TR - TC = 900 - 850 = 50$$

Ответ: Максимальный уровень монопольной прибыли составляет 50 ден. ед.