Задание 4 (4 балла) Точка Х лежит внутри треугольника АВС. Докажите, что: a) XA+XB+XC > 0,5(AB+BC+AC); 6) XA+XB+XC <AB+BC+AC. (В пункте (б) используйте дополнительное построение: луч АХ пересекает сторону ВС в точке К.)

Ответ: смотри доказательство

Доказательство:

1. a) XA + XB > AB, XB + XC > BC, XA + XC > AC (неравенство треугольника)
2. Сложим эти неравенства: 2(XA + XB + XC) > AB + BC + AC
3. Разделим обе части на 2: XA + XB + XC > 0.5(AB + BC + AC)
4. б) Проведем луч AX, который пересекает сторону BC в точке K
5. Тогда: XA + AK < AB + BK (неравенство ломаной)
6. Также: XC + CK = AK
7. Тогда: XA + XC + CK < AB + BK
8. Следовательно: XA + XC < AB + BC
9. Аналогично можно доказать, что XB + XA < BC + CA и XC + XB < CA + AB
10. Сложим эти неравенства: 2(XA + XB + XC) < 2(AB + BC + AC)
11. Разделим обе части на 2: XA + XB + XC < AB + BC + AC

Ответ: смотри доказательство