Задание 1 (16 баллов). Задана функция y = -x² + 4x - 7. Найдите: a) область определения данной функции (6 баллов); б) область значений данной функции (10 баллов).

Давайте решим эту задачу вместе. Начнем с области определения функции. a) Область определения функции: Функция $$y = -x^2 + 4x - 7$$ является квадратичной функцией. Квадратичные функции определены для всех действительных чисел. Это означает, что вы можете подставить любое значение $$x$$ в функцию, и она вернет действительное значение $$y$$. Таким образом, область определения функции – это множество всех действительных чисел. Ответ: $$x \in (-\infty; +\infty)$$. б) Область значений функции: Чтобы найти область значений, нам нужно определить вершину параболы. Вершина параболы $$y = ax^2 + bx + c$$ находится в точке $$x_в = -\frac{b}{2a}$$. В нашем случае $$a = -1$$, $$b = 4$$, $$c = -7$$. $$x_в = -\frac{4}{2*(-1)} = -\frac{4}{-2} = 2$$. Теперь найдем значение функции в этой точке: $$y_в = -(2)^2 + 4*(2) - 7 = -4 + 8 - 7 = -3$$. Так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный ($$a = -1$$), парабола направлена вниз. Это означает, что вершина параболы является максимальной точкой функции. Таким образом, область значений функции – это все значения $$y$$, которые меньше или равны $$y_в$$. Ответ: $$y \in (-\infty; -3]$$. Теперь нарисуем график этой функции: Разъяснение для ученика: 1. Область определения показывает, какие значения x можно подставлять в функцию. В случае квадратичной функции, как наша, можно подставлять любое число. 2. Область значений показывает, какие значения y может принимать функция. Для этого мы находим вершину параболы. Если парабола направлена вниз (как у нас, потому что перед $$x^2$$ стоит знак минус), то вершина - это самая высокая точка графика. Значит, y может быть любым числом меньше или равным значению y в вершине.