Задание 2 (25 баллов). От шара диаметром 20 две параллельные плоскости отсекают сегменты по разные стороны от диаметра. Высоты сегментов — 3 и 5. Найдите объём полученного шарового слоя. Решите задачу, используя определённый интеграл.

Ответ: \(\frac{1144\pi}{3}\)

Пошаговое решение:

1. Радиус шара равен половине диаметра: \[ R = \frac{20}{2} = 10 \]
2. Определим координаты границ шарового слоя. Так как высоты сегментов 3 и 5, то границы интегрирования будут: \[ x_1 = -10 + 3 = -7 \] \[ x_2 = 10 - 5 = 5 \]
3. Уравнение окружности с центром в начале координат: \[ x^2 + y^2 = R^2 \Rightarrow y^2 = R^2 - x^2 \]
4. Формула для объема шарового слоя: \[ V = \pi \int_{x_1}^{x_2} (R^2 - x^2) dx \]
5. Подставим значения и вычислим интеграл: \[ V = \pi \int_{-7}^{5} (10^2 - x^2) dx = \pi \int_{-7}^{5} (100 - x^2) dx \] \[ V = \pi \left[100x - \frac{x^3}{3}\right]_{-7}^{5} \] \[ V = \pi \left[\left(100(5) - \frac{5^3}{3}\right) - \left(100(-7) - \frac{(-7)^3}{3}\right)\right] \] \[ V = \pi \left[\left(500 - \frac{125}{3}\right) - \left(-700 + \frac{343}{3}\right)\right] \] \[ V = \pi \left[500 - \frac{125}{3} + 700 - \frac{343}{3}\right] \] \[ V = \pi \left[1200 - \frac{468}{3}\right] \] \[ V = \pi \left[1200 - 156\right] = 1044\pi \]

Ответ: \(1044\pi\)